Математичний аналiз багатошарових оптоволоконних моделей

Анотація

Робота присвячена розробцi якiсних методiв дослiдження нелiнiйних
гетерогенних структур, моделями яких є елiптичнi рiвняння, що описують складнi нелiнiйнi процеси в неоднорiдних (гетерогенних) середовищах. Цi структури складаються з декiлькох частин (фаз або прошаркiв): багатофазних твердих i рiдких матерiалiв; опти-
чних волокон i оптичних кабелiв, анiзотропних середовищ, тощо. Актуальнiсть обраного напрямку обумовлена тим, що багато процесiв в неоднорiдних середовищах в умовах високих температур, великих навантажень i значних деформацiй описуються за допомогою нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з розривними (сингулярними) даними (коефiцiєнти, права сторона, граничнi та початковi умови тощо). При цьому виникає концепцiя слабких розв’язкiв, якi вiдповiдають сучасним потребам математичної фiзики. Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння мають складну структуру, що фактично робить неможливим їх вивчення та аналiз шляхом пошуку розв’язку у явному виглядi. Тому, розробка саме якiсних методiв дослiдження стає надзвичайно важливим iнструментом для їх подальшого вивчення. В роботi розглянуто математичнi моделi багатошарового оптичного волокна та оптичного кабелю, якi складаються з 3 та 5 рiзних матерiалiв вiдповiдно з рiзними властивостями. Використовуючи теорiю нелiнiйних потенцiалiв, оцiнюється та аналiзується поведiнка слабкого розв’язку цього рiвняння в фiксованiй точцi через значення нелiнiйного потенцiалу Вольфа вiд правої частини рiвняння. Вивчаються поточковi властивостi, якi вiдiграють ключову роль у подальшому дослiдженнi та вивченнi таких властивойстей розв’язкiв, як, наприклад, розширення за позитивнiстю, нерiвнiсть Гарнака, та iн. В статтi розглянуто також застосування отриманих теоретичних результатiв для вирiшення проблеми моделювання та аналiзу сучасних оптоволоконних технологiй.